MONDBAHN / MOONORBIT

Die Umlaufbahn des Mondes um die Erde entspricht einer Ellipse mit einer numerischen Exzentrizität von 0.055545. Während in der Mathematik die Exzentrizität einer Ellipse mit der Distanz zwischen einem der beiden Brennpunkte (F1, F2) und dem Mittelpunkt M definiert ist (e = lineare Exzentrizität), gilt in der Astronomie für die Beschreibung eines Orbits die numerische Exzentrizität E. E ist definiert durch den Quotienten e/a, also lineare Exzentrizität dividiert durch die grosse Halbachse a. Die Exzentrizität beschreibt also die Abweichung einer Ellipse von einem Kreis.

The orbit of the moon around the Earth corresponds to an ellipse with a numerical eccentricity of 0.055545. While in mathematics the eccentricity of an ellipse is defined with the distance between one of the two focal points (F1, F2) and the center M (e = linear eccentricity), in astronomy the numerical eccentricity E. E is defined by the quotient E/a, i.e. linear eccentricity divided by the large half axis a. The eccentricity thus describes the deviation of an ellipse from a circle.

Mit einer numerischen Exzentrizität von 0.055545 beschreibt die Mondbahn fast eine Kreisbahn um die Erde, aber eben nur fast. In einem der beiden Brennpunkte (F1, F2) einer Ellipse befindet sich der Zentralkörper (Erde). Durch die Gravitationseinwirkung der Erde umkreist der Mond dieselbe. Das gemeinsame Rotationszentrum befindet sich nicht wie erwartet im Erdmittelpunkt, sondern im sogenannten Baryzentrum dem gemeinsamen Schwerpunkt ca. 1700 km unterhalb des sublunaren Punktes im Erdmantel.

With a numerical eccentricity of 0.055545, the lunar orbit describes almost a circular orbit around the Earth, but only almost. In one of the two focal points (F1, F2) of an ellipse is the central body (earth). Due to the gravitational effect of the Earth, the moon orbits the same. The common rotation center is not located in the center of the earth as expected, but in the so-called bary center of the common center of gravity about 1700 km below the sublunar point in the earth's mantle.

Da die Mondbahn eine Ellipse beschreibt, ist seine Distanz zur Erde variabel. Das Apogäum ist im Mittel 405`504 km von der Erde entfernt, das Perigäum im Mittel 363`296 km. Die Verbindung von Apogäum und Perigäum nennt man Apsidenlinie oder Apsis. Die Apoapsis ist also der Scheitel mit der grössten Entfernung und die Periapsis der Scheitel mit der kleinsten Entfernung zum Zentralkörper.

Since the lunar orbit describes an ellipse, its distance from Earth is variable. The Apogäum is on average 405'504 km from the earth, the perigee on average 363'296 km. The combination of apogee and perigee is called an apse line or apse. The apoapsis is thus the apex with the greatest distance and the periapsis of the apex with the smallest distance to the central body.

Die Apsiden erhalten unterschiedliche Bezeichnungen bezüglich ihres Zentralkörpers. So zum Beispiel

Sonne = Aphel und Perihel (hel = Helios die Sonne)

Erde = Apogäum und Perigäum (gäum = Gaia die Erde)

Mars = Apares und Periares (ares =Mars)

Die grau gefärbte Ebene markiert die Ekliptik, also die Ebene auf der die Erde die Sonne umkreist. Die braun eingefärbte Ebene, ist die Ebene der Mondbahn, sie ist im mittel 5.14527° gegenüber der Ekliptik geneigt. Die beiden Punkte J,K markieren die Stellen wo der Mond die Ekliptik ebene schneidet, die sogenannten Knoten (Drachenpunkte). Die Verbindung der beiden Punkte heisst Knotenlinie. Die Zeitdauer die der Mond benötigt um durch den gleichen Knoten zu wandern wird als “Drakonitischer Monat” bezeichnet und Dauert im mittel 27.212221 Tage. Mond oder Sonnenfinsternisse sind nur in der Nähe der beiden Knoten möglich und auch immer nur bei gleichzeitigem Vollmond oder Neumond. Die Knoten sind nicht fix im Raum sondern verschieben sich retrograd um ca. 19.3° pro Jahr.

The gray-colored plane marks the ecliptic, the plane on which the Earth orbits the sun. The brown colored plane, is the plane of the lunar orbit, it is inclined in the mean 5.14527° opposite the ecliptic. The two points J,K mark the places where the moon intersects the ecliptic plane, the so-called nodes (dragon points). The connection of the two points is called node line. The time it takes for the moon to travel through the same node is called the "Drakonite Month" and lasts in the middle of 27.212221 days. Moon or solar eclipses are only possible near the two knots and only at the same time full moon or new moon. The knots are not fixed in space but shift retrograde by about 19.3° per year.

Simulation in GEOGEBRA zur Berechnung der Drachenpunkte. Distanzen und Geschwindigkeiten entsprechen nicht der Realität.

Simulation in GEOGEBRA to calculate the dragon points. Distances and speeds do not correspond to reality.

Die meisten Grundlagen wurden bereits im 16. - 19. Jahrhundert erarbeitet. Anlässlich meines Besuches in der Sternwarte von Greenwich im Jahre 2016 war ich auf den Spuren der ersten “Himmelsmechaniker”. Es sind Namen wie Kepler, Kopernikus, Bradley, Newton und Halley die die Himmelsmechanik revolutionierten.

Most of the foundations were already worked out in the 16th - 19th century. On the occasion of my visit to the Greenwich Observatory in 2016, I was following in the footsteps of the first "heavenly mechanics". They are names like Kepler, Copernicus, Bradley, Newton and Halley that revolutionized celestial mechanics.

John Flamsteed geboren am 19. August 1646 Denby , Derbyshire und gestorben am 31. Dezember 1719 Burstow , Surrey.

Edmond Halley geboren am 29. Oktober in Haggerston bei London und gestorben am 14. Januar 1741 in Greenwich.

James Bradley geboren
am 3. März 1693 in Sherborne, Gloucestershire und
gestorben am 13. Juli 1762 in Chalford.

Nathaniel Bliss geboren am 28. November 1700 in Bisley, Gloucestershire und gestorben am 2.September 1764 in Oxford

Nevil Maskelyne geboren am 6. Oktober 1732 in London und gestorben am 9. Februar 1811 in Greenwich

Der Fahrstrahl eines Planeten markiert in gleichen Zeitabschnitten Flächen mit identischem Flächeninhalt (zweites Keplersches Gesetz). Das impliziert aber das sich Objekte auf einer elliptischen Umlaufbahn immer unterschiedlich schnell bewegen. Im Bereich der Apoapsis bewegen sich die Objekte am langsamsten und im Bereich der Periapsis am schnellsten.

The ray of a planet marks surfaces with identical area content in the same time periods (second Kepler's law). However, this implies that objects in an elliptical orbit always move at different speed. In the area of apoapsis, the objects move the slowest and in the periapsis area the fastest.

Die Flächeninhalte der roten und blauen Segmente sind identisch. Aber die Bahnlänge ist im roten Segment deutlich länger als beim blauen Segment. Somit bewegen sich Objekte unterschiedlich schnell.

The area contents of the red and blue segments are identical. But the web length is significantly longer in the red segment than in the blue segment. Thus, objects move at different speed.

Der Fahrstrahl eines Planeten simuliert mit Geogebra. Die Simulation läuft mit konstanter Geschwindigkeit ab und somit ergeben sich für gleiche Bahnlängen unterschiedliche Flächeninhalte der Segmente. (Umkehrschluss Kepler Gesetz 2)

The ray of a planet simulates with geogebra. The simulation runs at a constant speed and thus results in different area contents of the segments for equal web lengths. (Inverse Kepler Law 2)

Die synodische (Bezogen auf einen Beobachter auf der Erde) Umlaufzeit beträgt im Mittelwert 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 2.88… Sekunden. Aber dies ist eben nur der Mittelwert. Eine Lunation kann bis zu ±6 Stunden variieren und es kommt noch schlimmer, die Abweichungen sind nicht gleichmässig, sondern addieren oder subtrahieren sich laufend zu einem Maximum oder Minimum. Die untenstehende Grafik zeigt diese Funktion die aus 113 Vollmondlunationen besteht.

The synodic (relative to an observer on Earth) orbital period is an average of 29 days 12 hours 44 minutes 2.88... Seconds. But this is just the average. A Lunation can vary up to ±6 hours and it gets worse, the deviations are not uniform, but add up or subtract continuously to a maximum or minimum. The graphic below shows this function consisting of 113 full moon Lunations.

In der X-Achse sind die Lunationen eingetragen. Die Y-Achse zeigt die Lunationsdauer an.

Manche Lunationen sind nahe am Mittelwert (Rote Linie), doch schon die nächstfolgende kann drei Stunden früher oder später eintreffen. Eine Sequenz besteht immer aus 8 Wellenbergen und umfasst zwischen 111 und 113 Lunationen. Wie kommt eine solche “Schwebung” zustande ? Zu erkennen sind verschiedene Zyklen. Zum einen sehen wir einen Zyklus von knapp 13 Lunationen, das entspricht ca. einem Jahr. Somit ist in dieser Funktion der Erdumlauf um die Sonne enthalten. Zum anderen steigen die Amplituden der Funktion stetig an bis zu einem Maximum und nehmen danach wieder stetig ab. Dieser Zyklus dauert ca. 9 Jahre und hängt mit der Drehung des Apsidenlinie der Mondbahn zusammen.

DIE MONDPHASEN / MOONPHASES

Die Darstellung der Mondphasen bei den meisten Armbanduhren entspricht nicht der tatsächlich beobachtbaren Realität. In den meisten Komplikationen wird die Mondphase als Schnittmenge zweier Kreise die ineinander verschoben werden dargestellt.

The mechanical representation of the moon phases does not correspond to the actual observable reality. In most complications, the moon phase is represented as an intersection of two circles that are moved into each other.

Die Scheibe B hat in der Abbildung rechts bereits 40° zurückgelegt, bedeckt aber nur 28.2 % der Mondoberfläche (schraffierte Fläche). Der Drehwinkel von Scheibe B und die abgedeckte Fläche sind also nicht als Lineare Abbildung darstellbar. Die Berechnung der abgedeckten Fläche kann Trigonometrisch oder Algebraisch mit einer Polynomgleichung dritten Grades erfolgen.

The disk B has already moved 40° in the figure on the right, but covers only 28.2% of the lunar surface (hatched surface). The angle of rotation of disk B and the covered surface are therefore not representable as linear Equation. The calculation of the covered area can be done by a trigonometric or algebraic solution

Herleitung der Trigonometrischen Lösung. Der Rotationswinkel d (Delta) gelb markiert, entspricht dem Drehwinkel der Mondphasenscheibe auf einer Uhr.

Derivation of the trigonometric solution. The rotation angle d (delta) marked yellow corresponds to the rotation angle of the moon phase disk on a clock.
 

Durch ein Polynom dritten Grades kann die Funktion schon sehr genau abgebildet werden. Der Fehler liegt unter einem Prozent. Das x entspricht dem Rotationswinkel d (Delta).

Due to a third-degree polynomial, the function can already be mapped very precisely. The error is less than one percent. The x corresponds to the rotation angle d (delta).

Anhand des Graphen wird deutlich das es sich sicher nicht um eine Lineare Funktion handelt. Die Anzeige der Mondphase einer Uhr stimmt erst bei einem Rotationswinkel von ca. 60° ungefähr mit der tatsächlichen Mondphase überein. Lösen kann man dieses “Problem” durch Indexe auf dem Zifferblatt , oder mit einem Differenzial das die Mondphasenscheibe oder den Mond antreibt.

The graph makes it clear that it is certainly not a linear function. The display of the moon phase of a clock only approximates the actual moon phase at a rotation angle of about 60°. This "problem" can be solved by indexes on the dial, or with a differential that drives the moon phase disk or the moon.

ZAHNRAD-BERECHNUNGEN / GEARCALCULATION

Im Gegensatz zur typischen Uhrmacherkunst die früher fast ausschliesslich Zykloide und Hypozykloide Verzahnungen verwendeten (infolge geringerer Reibung bei einem Antrieb vom langsamen ins schnelle) haben die Zahnräder des Telluriums eine Evolventen Verzahnung. Diese bietet bei dieser Verwendung nur Vorteile. Die Evolventen Verzahnung hat eine Gerade als Eingriffslinie. Die Eingriffslinie schneidet die Tangente im Wälzpunkt in einem rechten Winkel. Sie ist also zugleich Berührungsnormale. Die Eingriffslinie tangiert ebenfalls die beiden Grundkreise der Räder. Beim Umkehren der Drehrichtung ändert sich die Eingriffslinie spiegelbildlich. Die Krümmung der Zahnflanken ρ (rho) sind im jeweiligen Berührpunkt Unterschiedlich gross, ihre Summe jedoch bleibt konstant. Die Zahnflanken wälzen sich nicht nur aufeinander ab, sondern Gleiten auch.

In contrast to the typical watchmaking art, which used to use almost exclusively cycloid and hypocycloid gearing (due to lower friction in a drive from slow to fast), the gears of the tellurium have a evolvenent gearing. This only offers advantages in this use. The Evolventen toothing has a straight line as an intervention line. The intervention line intersects the tangent at a right angle at the rolling point. It is therefore at the same time a normal of contact. The intervention line also affects the two basic circuits of the wheels. When the direction of rotation is reversed, the line of intervention changes in a mirror image. The curvature of the tooth flanks (rho) are different in the respective touch point, but their sum remains constant. The tooth flanks not only roll off on each other, but also glide.

Die Flankenpunkte A1 und A2 kommen in A zur Berührung, die Flankenpunkte B1 und B2 in B. Demzufolge arbeitet in diesem Abschnitt der Flankenteil A1B1 mit dem Flankenteil A2B2 zusammen. Da beide verschieden lang sind, kennzeichnet die Längendifferenz den Gleitweg. Der kürzere Flankenteil wird stärker abgenützt. Die Gleitgeschwindigkeit vg ist die Differenz der beiden Tangential-geschwindigkeiten vt1 und vt2, und zwar vg = vt1 – vt2 für Flankenpunkte an MGZ1, vg = vt2 – vt1 für Flankenpunkte an MGZ2. Unter spezifischem Gleiten versteht man also das Maß für das Gleiten der Zahnflanken und somit das Verhältnis der Gleitgeschwindigkeit zur Tangentialgeschwindigkeit des jeweiligen Berührpunktes der entsprechenden Flanke. Im Wälzpunkt ist die Differenz der beiden Tangentialgeschwindigkeiten gleich null und somit findet dort kein Gleiten statt.

The flank points A1 and A2 come into contact in A, the flank points B1 and B2 in B. Consequently, in this section of the flank part A1B1 cooperates with the flank part A2B2. Since both are different in length, the length difference indicates the sliding path. The shorter flank part is worn out more heavily. The sliding velocity vg is the difference between the two tangential speeds vt1 and vt2, namely vg = vt1 – vt2 for flank points at MGZ1, vg = vt2 – vt1 for flank points at MGZ2. By specific gliding one means the measure for the sliding of the tooth flanks and thus the ratio of the sliding velocity to the tangential velocity of the respective touch point of the corresponding flank. In the rolling point, the difference between the two tangential velos is zero and therefore no sliding takes place there.

Für die Berechnungen des spezifischen Gleitens wurden die unten aufgeführten Formeln verwendet. Alle Zahnflanken wurden ohne eine Profilverschiebung hergestellt. Die Berechnung wurde nicht nur für einen einzelnen Punkt der Eingriffsstrecke gerechnet, sondern für den ganzen Eingriffsbereich.

The formulas listed below were used for the calculations of the specific slide. All tooth flanks were manufactured without a profile shift. The calculation was calculated not only for a single point of the course of the procedure, but for the entire scope of the procedure.

Das Verhältnis der Zähnezahl z2 des Grossrades zur Zähnezahl z1 des Kleinrades ist das Zähnezahl Verhältnis u. Das unten stehende Berechnungsbeispiel zeigt die Werte der spezifischen Gleitung am Punkt 3.82 mm der Eingriffslinie des Zahnradpaares MGZ_1 und MGZ_2.

The ratio of the number of teeth z2 of the large wheel to the number of teeth z1 of the small wheel is the number of teeth ratio u. The calculation example below shows the values of the specific glider at point 3.82 mm of the gear pair's intervention line MGZ_1 and MGZ_2.

Die Berechnung der spezifischen Gleitung aller Zahnradpaare wurde mit EXCEL realisiert. Hier
wurde der ganze Bereich der Eingriffslinie berücksichtigt. Wobei zu erwähnen bleibt dass zur Erzeugung der Funktion ein Inkrement von 0.05 mm gewählt wurde. Die Funktion des spezifischen Gleitens kann mit einer Polynomfunktion sechsten Grades schon sehr genau angenähert werden.

The calculation of the specific gdirect of all gear pairs was realized with EXCEL. Here, the whole area of the intervention line was taken into account. It should be noted that an increment of 0.05 mm was chosen to generate the function. The function of the specific gliding can be approximated with a sixth degree polynomial function.

ZAHNRAD PERMUTATIONEN / GEAR PERMUTATIONS

Wenn ein Übersetzungsverhältnis mit Zahnrädern dargestellt werden muss, sollten vorab einige Randbedingungen definiert sein. Die Anzahl der zu verwendenden Zahnräder oder die maximale Anzahl der Zähne pro Zahnrad sind solche Randbedingungen. Infolge der Reibung sollte die Anzahl der im Eingriff stehenden Zahnräder minimal gehalten werden.

If a gear gear ratio needs to be represented, some boundary conditions should be defined in advance. The number of gears to be used or the maximum number of teeth per gear are such boundary conditions. As a result of friction, the number of gears in intervention should be kept to a minimum.

Ein Übersetzungsverhältnis ist definiert durch den Quotienten der treibenden und der getriebenen Zahnräder. Sofort erkennen wir dass sich ein Übersetzungsverhältnis aus zwei Produkten in einem Quotienten zusammensetzt. Diese Produkte wiederum bestehen aus Faktoren. Um das Übersetzungsverhältnis möglichst genau darstellen zu können, besteht die
Aufgabe darin, geeignete Faktoren zu suchen die dieses Verhältnis abbilden.

A gear ratio is defined by the quotient of the driving and the driven gears. We immediately realize that a translation ratio of two products is composed in one quotient. These products, in turn, consist of factors. In order to be able to present the translation ratio as accurately as possible, the task is to look for suitable factors that represent this ratio.

Liegt das gesuchte Verhältnis in ℕ wird man vermutlich sehr schnell geeignete Faktoren finden, da die Zähnezahlen ebenfalls in ℕ liegen. Schwieriger wird es wenn man Verhältnisse Abbilden will die in ℝ liegen. Die synodische Umlaufzeit des Mondes um die Erde beträgt 29.53059
Tage, somit darstellbar als Verhältnis von 1 : 29.53059. Ein möglicher Ansatz wäre es die beiden Zahlen zu erweitern, nämlich zu 100`000 : 2`953`059 und eine Primfaktorenzerlegung
anzuwenden. Jedoch lässt sich 2`953`059 nur in 3 * 984`353 zerlegen und 100`000
ist bestimmt nicht durch drei teilbar in ℕ.

If the desired ratio is in N, one will probably find suitable factors very quickly, since the number of teeth is also in N. It becomes more difficult if you want to map conditions that lie in R. The synodic orbital period of the moon around the earth is 29.53059 days, thus representable as a ratio of 1: 29.53059. One possible approach would be to extend the two figures, namely to apply 100'000 : 2'953'059 and a prime factor decomposition. However, 2'953'059 can only be broken down into 3 * 984'353 and 100'000 is certainly not divisible by three in N.

Wir müssen einen Algorithmus finden mit dem man beliebige Verhältnisse möglichst genau annähern kann. Betrachten wir zunächst einmal zwei Zahnräder z1 und z2 die unterschiedliche Zähnezahlen besitzen, nämlich zz1 = 10 und zz2 = 11. Die mögliche Anzahl an Anordnungen sogenannte Permutationen sehen wir in der Tabelle. Bei zwei Zahnrädern mit unterschiedlichen Zähnezahlen n=2 gibt es 3 Möglichkeiten diese Anzuordnen.

We have to find an algorithm with which you can approximate any ratio as accurately as possible. First, consider two gears z1 and z2 that have different number of teeth, namely zz1 = 10 and zz2 = 11. The possible number of arrangements of so-called permutations can be seen in the table. With two gears with different number of teeth n=2 there are 3 ways to arrange these.

Wird die Zähnezahl n der zwei Zahnräder um eins erhöht, haben wir bereits 6 Permutationen. Wir setzen diese Reihe fort und Füllen die erhaltenen Werte in eine Tabelle ein.

If the number of teeth n of the two gears is increased by one, we already have 6 permutations. We continue this series and fill the obtained values into a table.

Als nächstes wiederholen wir diese ganzen Berechnungen mit einem zusätzlichen Zahnrad z3 die wieder unterschiedliche Zähnezahlen haben können. Somit haben wir jetzt drei Zahnräder z1, z2 und z3. Die mögliche Anzahl an Permutationen bei drei Zahnrädern mit unterschiedlichen Zähnezahlen n=2 ist 4.

Next, we repeat all these calculations with an additional gear z3, which can again have different number of teeth. So we now have three gears z1, z2 and z3. The possible number of permutations in three gears with different number of teeth n=2 is 4.

Wird die Zähnezahl n der drei Zahnräder um eins erhöht, haben wir bereits 10 Permutationen. Wir setzen diese Reihe fort und Füllen die erhaltenen Werte in eine Tabelle ein.

If the number of teeth n of the three gears is increased by one, we already have 10 permtations. We continue this series and fill the obtained values into a table.

Die Berechnungen können so in dieser Form beliebig fortgesetzt werden. Wir stellen die bisher erhaltenen Resultate tabellarisch zusammen und zeigen auf wie sich diese Folge entwickelt.

The calculations can thus be continued as desired in this form. We put together the results obtained so far in tabular form and show how this episode develops.

Somit gilt für ni Zahnräder

Thus, for ni gears

Dabei gibt ni die Anzahl der verwendeten Zahnräder an und die Größe von n1 gibt an die Differenz der maximalen Zähnezahl minus die minimale Zähnezahl der Zahnräder. Mit dieser Formel berechnet man die Anzahl von Produkten die entstehen wenn man mehrere Zahnräder mit unterschiedlichen Zähnezahlen kombinieren will. Sie dient als Basis für einen Algorithmus zur Berechnung von Übersetzungsverhältnissen. Mithilfe dieser Berechnungsformel wird sichergestellt, dass nur Produkte für die Berechnung verwendet werden deren Faktoren in ℕ sind und die sich in einer Permutationsgruppe befinden und somit eindeutig faktorisierbar sind.

Here ni indicates the number of gears used and the size of n1 indicates the difference of the maximum number of teeth minus the minimum number of teeth of the gears. This formula calculates the number of products that arise when you want to combine several gears with different numbers of teeth. It serves as the basis for an algorithm for calculating translation ratios. This calculation formula ensures that only products are used for the calculation whose factors are in N and that are in a permutation group and are therefore clearly factorizable.