Wenn ein Übersetzungsverhältnis mit Zahnrädern dargestellt werden muss, sollten vorab einige Randbedingungen definiert sein. Die Anzahl der zu verwendenden Zahnräder oder die maximale Anzahl der Zähne pro Zahnrad sind solche Randbedingungen. Infolge der Reibung sollte die Anzahl der im Eingriff stehenden Zahnräder minimal gehalten werden.
If a gear gear ratio needs to be represented, some boundary conditions should be defined in advance. The number of gears to be used or the maximum number of teeth per gear are such boundary conditions. As a result of friction, the number of gears in intervention should be kept to a minimum.
Ein Übersetzungsverhältnis ist definiert durch den Quotienten der treibenden und der getriebenen Zahnräder. Sofort erkennen wir dass sich ein Übersetzungsverhältnis aus zwei Produkten in einem Quotienten zusammensetzt. Diese Produkte wiederum bestehen aus Faktoren. Um das Übersetzungsverhältnis möglichst genau darstellen zu können, besteht die
Aufgabe darin, geeignete Faktoren zu suchen die dieses Verhältnis abbilden.
A gear ratio is defined by the quotient of the driving and the driven gears. We immediately realize that a translation ratio of two products is composed in one quotient. These products, in turn, consist of factors. In order to be able to present the translation ratio as accurately as possible, the task is to look for suitable factors that represent this ratio.
Liegt das gesuchte Verhältnis in ℕ wird man vermutlich sehr schnell geeignete Faktoren finden, da die Zähnezahlen ebenfalls in ℕ liegen. Schwieriger wird es wenn man Verhältnisse Abbilden will die in ℝ liegen. Die synodische Umlaufzeit des Mondes um die Erde beträgt 29.53059
Tage, somit darstellbar als Verhältnis von 1 : 29.53059. Ein möglicher Ansatz wäre es die beiden Zahlen zu erweitern, nämlich zu 100`000 : 2`953`059 und eine Primfaktorenzerlegung
anzuwenden. Jedoch lässt sich 2`953`059 nur in 3 * 984`353 zerlegen und 100`000
ist bestimmt nicht durch drei teilbar in ℕ.
If the desired ratio is in N, one will probably find suitable factors very quickly, since the number of teeth is also in N. It becomes more difficult if you want to map conditions that lie in R. The synodic orbital period of the moon around the earth is 29.53059 days, thus representable as a ratio of 1: 29.53059. One possible approach would be to extend the two figures, namely to apply 100'000 : 2'953'059 and a prime factor decomposition. However, 2'953'059 can only be broken down into 3 * 984'353 and 100'000 is certainly not divisible by three in N.
Wir müssen einen Algorithmus finden mit dem man beliebige Verhältnisse möglichst genau annähern kann. Betrachten wir zunächst einmal zwei Zahnräder z1 und z2 die unterschiedliche Zähnezahlen besitzen, nämlich zz1 = 10 und zz2 = 11. Die mögliche Anzahl an Anordnungen sogenannte Permutationen sehen wir in der Tabelle. Bei zwei Zahnrädern mit unterschiedlichen Zähnezahlen n=2 gibt es 3 Möglichkeiten diese Anzuordnen.
We have to find an algorithm with which you can approximate any ratio as accurately as possible. First, consider two gears z1 and z2 that have different number of teeth, namely zz1 = 10 and zz2 = 11. The possible number of arrangements of so-called permutations can be seen in the table. With two gears with different number of teeth n=2 there are 3 ways to arrange these.
Wird die Zähnezahl n der zwei Zahnräder um eins erhöht, haben wir bereits 6 Permutationen. Wir setzen diese Reihe fort und Füllen die erhaltenen Werte in eine Tabelle ein.
If the number of teeth n of the two gears is increased by one, we already have 6 permutations. We continue this series and fill the obtained values into a table.
Als nächstes wiederholen wir diese ganzen Berechnungen mit einem zusätzlichen Zahnrad z3 die wieder unterschiedliche Zähnezahlen haben können. Somit haben wir jetzt drei Zahnräder z1, z2 und z3. Die mögliche Anzahl an Permutationen bei drei Zahnrädern mit unterschiedlichen Zähnezahlen n=2 ist 4.
Next, we repeat all these calculations with an additional gear z3, which can again have different number of teeth. So we now have three gears z1, z2 and z3. The possible number of permutations in three gears with different number of teeth n=2 is 4.
Wird die Zähnezahl n der drei Zahnräder um eins erhöht, haben wir bereits 10 Permutationen. Wir setzen diese Reihe fort und Füllen die erhaltenen Werte in eine Tabelle ein.
If the number of teeth n of the three gears is increased by one, we already have 10 permtations. We continue this series and fill the obtained values into a table.
Die Berechnungen können so in dieser Form beliebig fortgesetzt werden. Wir stellen die bisher erhaltenen Resultate tabellarisch zusammen und zeigen auf wie sich diese Folge entwickelt.
The calculations can thus be continued as desired in this form. We put together the results obtained so far in tabular form and show how this episode develops.
Somit gilt für ni Zahnräder
Thus, for ni gears
Dabei gibt ni die Anzahl der verwendeten Zahnräder an und die Größe von n1 gibt an die Differenz der maximalen Zähnezahl minus die minimale Zähnezahl der Zahnräder. Mit dieser Formel berechnet man die Anzahl von Produkten die entstehen wenn man mehrere Zahnräder mit unterschiedlichen Zähnezahlen kombinieren will. Sie dient als Basis für einen Algorithmus zur Berechnung von Übersetzungsverhältnissen. Mithilfe dieser Berechnungsformel wird sichergestellt, dass nur Produkte für die Berechnung verwendet werden deren Faktoren in ℕ sind und die sich in einer Permutationsgruppe befinden und somit eindeutig faktorisierbar sind.
Here ni indicates the number of gears used and the size of n1 indicates the difference of the maximum number of teeth minus the minimum number of teeth of the gears. This formula calculates the number of products that arise when you want to combine several gears with different numbers of teeth. It serves as the basis for an algorithm for calculating translation ratios. This calculation formula ensures that only products are used for the calculation whose factors are in N and that are in a permutation group and are therefore clearly factorizable.